Question

（2012•江门一模）已知直线x-

3

y+

3

=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点B和一个焦点F．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆C上动点，求||PF|-|PB||的取值范围，并求||PF|-|PB||取最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线x-

3

y+

3

=0，可得B（0，1），F（-

3

，0），即以b=1，c=

3

，进而可得椭圆的离心率；
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，当且仅当|PF|=|PB|时，||PF|-|PB||=0，当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，由此可得||PF|-|PB||的取值范围是[0，2]；根据|PF|=|PB|，可得点P的坐标．

解答：解：（1）依题意，B（0，1），F（-

3

，0），所以b=1，c=

3

…（2分），
所以a=

b2+c2

=2…（3分），
所以椭圆的离心率e=

c

a

=

3

2

…（4分）．
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，当且仅当|PF|=|PB|时，||PF|-|PB||=0…（5分），
当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，
所以||PF|-|PB||的取值范围是[0，2]…（7分）．
设P（m，n），由|PF|=|PB|得

3

m+n+1=0…（9分），
代入椭圆方程，消去n可得13m²+8

3

m=0，∴m=0或m=-

8 3

13

m=0时，n=-1；m=-

8 3

13

时，n=

11

13

…（11分），
∴所求点P为p（0，-1）和P（-

8 3

13

，

11

13

）…（12分）．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆方程的运用，正确确定椭圆的方程是关键．