Question

（2012•江门一模）如图，四边形ABCD中，AB=5，AD=3，cosA=

4

5

，△BCD是等边三角形．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求sin∠ABD．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理得BD²=10，由cosA=

4

5

，知sinA=

3

5

，由此能求出四边形ABCD的面积．
（2）由正弦定理得

AD

sin∠ABD

=

BD

sin∠A

，由此能求出sin∠ABD．

解答：解：（1）四边形ABCD中，AB=5，AD=3，cosA=

4

5

，△BCD是等边三角形．
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2×AB×AD×cosA=10．…（3分）
因为cosA=

4

5

，所以sinA=

3

5

，…（4分）
四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD
=

1

2

×AB×AD×sin∠BAD+

1

2

×BD2×sin∠DBC…（6分）
=

9+5 3

2

．…（8分）
（2）由正弦定理得

AD

sin∠ABD

=

BD

sin∠A

，…（10分）
所以sin∠ABD=

AD

BD

×sin∠A=

9 10

50

．…（12分）

点评：本题考查四边形的面积的求法，考查角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理和正弦定理的灵活运用．