Question

已知函数f（x）=alnx+2x+3（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若a=1，设g（x）=f（x）+kx，且不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）在（I）的条件下，将函数f（x）的图象关于y轴对称得到函数φ（x）的图象，再将函数φ（x）的图象向右平移3个单位向下平移4个单位得到函数w（x）的图象，试确定函数w（x）的单调性并根据单调性证明ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）（n∈N，n＞l）．

Answer 1

分析：（I）若函数f（x）在x=2处取得极值，则当x=2，f′（x）=0，由此可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出满足条件的实数a的值；
（Ⅱ）若a=1，根据g（x）=f（x）+kx，我们可以求出函数g（x）的解析式，又由不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，我们可以将问题转化为一个函数恒成立问题，进而求出实数k的取值范围；
（Ⅲ）根据（I）中a值，我们求出函数f（x）的解析式，进而根据将函数f（x）的图象关于y轴对称得到函数φ（x）的图象，再将函数φ（x）的图象向右平移3个单位向下平移4个单位得到函数w（x）的图象，求出函数w（x）的解析式，进而利用导数法证明出函数w（x）的单调性后，即可得到ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）．

解答：解：（I）∵函数的定义域为（0，+∞），由f（x）=alnx+2x+3（a∈R）
∴f′（x）=

a

x

+2
又∵函数f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=

a

2

+2=0
解得a=-4
（II）g（x）=f（x）+kx=lnx+2x+3+kx=lnx+（k+2）x+3
∴g′（x）=

1

x

+k+2≥0在X∈（0，2）上恒成立，
即k≥-2-

1

x

又0＜x＜2，
∴-2-

1

x

＜-

5

2

∴k≥-

5

2

即满足条件的实数k的取值范围为[-

5

2

，+∞）
（III）∵f（x）=-4lnx+2x+3
∴φ（x）=-4ln（-x）-2x+3
∴w（x）=-4ln（3-x）-2x+5
则w′（x）=

4

x

-2
∵当x∈（0，

1

2

）时，w′（x）＞0，当x∈（

1

2

，+∞）时，w′（x）＜0，
∴w（x）=-4ln（3-x）-2x+5在区间（0，

1

2

）上单调递增，在区间（

1

2

，+∞）上单调递减
∴n∈N，n＞l时，-4ln（3-n）-2n+5≤w（2）=1
∴ln（n+1）≤n
即ln2≤1，ln3≤2，…，ln（n+1）≤n
∴ln2+ln3+…+ln（n+1）≤1+2+…+n
∴ln[2.3.4…（n+1）]≤

n(n+1)

2

∴2ln[2.3.4…（n+1）]≤n（n+1）
即ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）（n∈N，n＞l）．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，函数的图象与图象变化，函数的单调性与导数的关系，其中（I）的切入点是f′（2）=0，（2）的线入点是g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，（3）的切入点是函数w（x）的单调性并根据单调性．