题目内容

函数f(x)=cos2x-2cos2
x
2
的一个单调增区间是（　　）
A、(
π
3
，
2π
3
)
B、(
π
6
，
π
2
)
C、(0，
π
3
)
D、(-
π
6
，
π
6
)
分析：化简函数f(x)=cos2x-2cos2
x
2
为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．
解答：解．函数f(x)=cos2x-2cos2
x
2
=cos2x-cosx-1，
原函数看作g（t）=t2-t-1，t=cosx，
对于g（t）=t2-t-1，当t∈[-1，
1
2
]时，g（t）为减函数，
当t∈[
1
2
，1]时，g（t）为增函数，
当x∈(
π
3
，
2π
3
)时，t=cosx减函数，
且t∈(-
1
2
，
1
2
)，∴原函数此时是单调增，
故选A
点评：本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=cos(2x-
π3
)+sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．
函数f(x)=cos(2x+
π
2
)是（　　）
A、最小正周期为π的偶函数
B、最小正周期为
π
2
的偶函数
C、最小正周期为π的奇函数
D、最小正周期为
π
2
的奇函数
下列说法中：
①函数f(x)=
1
lgx
在(0，+∞)是减函数；
②在平面上，到定点（2，-1）的距离与到定直线3x-4y-10=0距离相等的点的轨迹是抛物线；
③设函数f(x)=cos(
3
x+
π
6
)，则f（x）+f'（x）是奇函数；
④双曲线
x2
25
-
y2
16
=1的一个焦点到渐近线的距离是5；
其中正确命题的序号是
③
③
．
（2006•石景山区一模）已知函数f(x)=cos(π-x)sin(
π
2
+x)+
3
sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值及最小值；
（Ⅲ）求f（x）的单调递增区间．
已知函数f(x)=cos(2x+
π
3
)+sin2x，
（1）化简f（x）；
（2）若不等式f（x）-m＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=
1
3
，f(
C
2
)=-
1
4
，求sinA．

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