Question

（2012•南京二模）甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是

2

3

，乙班三名同学答对的概率分别是

2

3

，

2

3

，

1

2

，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．

Answer 1

分析：（1）确定随机变量X的可能取值，求出相应的概率，即可求得随机变量X的概率分布列和数学期望；
（2）分别求得事件A，B的概率，利用互斥事件的概率公式，可得结论．

解答：解：（1）随机变量X的可能取值是0，10，20，30，且
P（X=0）=

C

0 3

（1-

2

3

）³=

1

27

，P（X=10）=

C

1 3

•

2

3

•（1-

2

3

）²=

2

9

，
P（X=20）=

C

2 3

（

2

3

）²（1-

2

3

）=

4

9

，P（X=30）=

C

3 3

（

2

3

）³=

8

27

所以，X的概率分布为

X	0	10	20	30
P	1 27	2 9	4 9	8 27

…3分
随机变量X的数学期望E（X）=0×

1

27

+10×

2

9

+20×

4

9

+30×

8

27

=20．…5分
（2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是：

C

2 3

（

2

3

）²（1-

2

3

）×[

2

3

×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×

2

3

×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×

1

2

]=

10

34

；
甲班得30分，且乙得班0分的概率是：

C

3 3

（

2

3

）³×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）=

4

35

．
所以事件A，B同时发生的概率为

10

34

+

4

35

=

34

243

．　　 …10分

点评：本题考查互斥事件概率公式的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．