Question

等差数列{a_n}中，公差d是自然数，等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂．现又数据：①2，②3，③4，④5，当{b_n}中所有的项都是数列{a_n}中的项时，d可以取

①②③④

．（填上你认为正确的序号）

Answer 1

分析：由b₁=a₁=1，b₂=a₂，利用等差、等比数列的性质可得d=a₁（q-1），然后令b_n=a_k，根据等差数列及等比数列的通项公式化简，由a₁不为0，在等式两边同时除以a₁，用q表示出k，再根据等比数列的求和公式列举出各项，由已知d的值，求出相应的q值，进而得到相应的k值，发现k为正整数，即此时数列{b_n}中的每一项都是数列{a_n}中的项，得到正确的选项．

解答：解：∵b₁=a₁=1，且b₂=a₂=b₁q=a₁q，
∴d=a₂-a₁=a₁（q-1），
令b₁q^n-1=a₁+（k-1）d，即a₁q^n-1-a₁=（k-1）a₁（q-1），
解得：k=1+

qn-1-1

q-1

=2+q+q²+…+q^n-2，
∵d取2，3，4，5，∴q相应取1，2，3，4，
∴k相应为正整数，从而b_n=a_k，
故此时数列{b_n}中的每一项都是数列{a_n}中的项．
则d可以取①②③④．
故答案为：①②③④

点评：此题考查了等差、等比数列的性质，等比数列的求和公式，以及等差、等比数列的通项公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．