Question

已知函数f(x)=

ax+2

x+b

，a，b∈R，若函数f（x）图象经点（0，2），且图象关于点（-1，1）成中心对称．
（1）求实数a，b的值；
（2）若数列{a_n}满足：a1=2，an+1=

2

f(an)-1

(n≥1，n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{b_n}满足：b_n=n（a_n+2），数列{b_n}的前项的和为S_n，若

Sn

(n-1)•2n

≤m，（n≥2）恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据图象经点（0，2），求出b的值；再结合图象关于点（-1，1）成中心对称求出a的值即可；
（2）先根据第一问的结果求出递推关系式，再整理得到数列{a_n+2}为等比数列进而求出结论；
（3）先你根据错位相减法求出S_n，进而求出

sn

(n-1)•2n

的范围，即可求出结论．

解答：解：（1）因为函数f（x）图象经点（0，2），
∴f（0）=2⇒

2

b

=2⇒b=1；…2分
∵图象关于点（-1，1）成中心对称
∴f（0）+f（-2）=2，
∴f（-2）=0⇒

-2a+2

-2+1

=0⇒a=1；
∴f（x）=

x+2

x+1

．…..4分
（2）∵a_n+1=

2

an+2 an+1 -1

=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2）
∴{a_n+2}为等比数列⇒a_n+2=（a₁+2）•2^n-1
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2；…8分
（3）∵b_n=n（a_n+2）=n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；
2S_n=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；
-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²=（1-n）2ⁿ⁺²-4；
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4
∴

sn

(n-1)•2n

=4+

4

(n-1)•2n

≤5；
∴m的最小值为5…..13分．

点评：本题主要考察数列与函数的综合．其中涉及到函数f（X）关于一个点（M，N）成中心对称，则有f（2M-x）+f（x）=2N或f（M-x）+f（M+x）=2N这一结论的运用．