Question

下列命题中正确命题的序号是

①②③⑤

．
①若A={x|x＞0}，B=R，则f：x→y=x²是A到B的映射；
②设函数f （x） 对任意实数x、y都有f （x+y）=f （x）•f （y），且f （1）≠0，则f （0）=1；
③既是奇函数，又是偶函数的函数有无穷多个；
④f （x）是R上的偶函数，则f （x）•f （-x）＞0；
⑤存在常数M对函数y=f （x）的定义域内任意x都有f （x）≤M，则M是y=f （x）的最大值．

Answer 1

分析：①根据映射的定义，对于集合A中任意一个元素，在B中有唯一元素，与之对应；
②令x=1，y=0，利用f （x+y）=f （x）•f （y），可得f （0）=1；
③因为定义域的不同应该有无数多个，但函数形式应该就这一个；
④f（x）=0，f （x）•f （-x）=0，不符合f （x）•f （-x）＞0；
⑤根据函数最大值的定义，可判断．
故可得结论．

解答：解：①根据映射的定义，对于集合A中任意一个元素，在B中有唯一元素，与之对应，故①为正确命题；
②令x=1，y=0，则∵f （x+y）=f （x）•f （y），∴f （1+0）=f （1）•f （0），
∵f （1）≠0，∴f （0）=1，故②为正确命题；
③令f（x）=0 （定义域关于原点对称）．因为定义域的不同应该有无数多个，但函数形式应该就这一个，故③为正确命题；
④令f（x）=0，则f （x）•f （-x）=0，不符合f （x）•f （-x）＞0，故④为不正确命题；
⑤根据函数最大值的定义，可知存在常数M对函数y=f （x）的定义域内任意x都有f （x）≤M，则M是y=f （x）的最大值，故⑤为正确命题．
所以正确命题为：①②③⑤

点评：本题以命题为载体，考查命题真假的判断，考查函数的性质，考查的知识点多，综合性强．