Question

4．已知A（1，0），B（0，1），点C单位圆上的一点，且满足$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则λx+y最大值小于2，则λ的范围为（　　）

• A． $（0，\sqrt{3}）$
• B． $（-\sqrt{3}，0）$
• C． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• D． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=（x，y），点C单位圆上的一点，可得x²+y²=1．令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，π）．化为λx+y=λcosθ+sinθ=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin（θ+φ），由于λx+y最大值小于2，可得$\sqrt{{λ}^{2}+1}$＜2，解出即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=（x，y），点C单位圆上的一点，
∴x²+y²=1．
令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，π）．
∴λx+y=λcosθ+sinθ=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin（θ+φ），
∵λx+y最大值小于2，
∴$\sqrt{{λ}^{2}+1}$＜2，
解得$-\sqrt{3}＜λ＜\sqrt{3}$．
∴λ的范围为$（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．　　
故选：D．

点评 本题考查了向量的坐标运算、单位圆的性质、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．