题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2﹣1，数列{bn}满足3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan ， 且b1=3，a1=3．
（1）求数列{ an}和{bn}的通项an ， bn；
（2）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn ， 并求满足Tn＜7时n的最大值．
【答案】
（1）解：∵Sn=an+n2﹣1，
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（an+n2﹣1）﹣[an﹣1+（n﹣1）2﹣1]，化为：an﹣1=2n﹣1，
又∵a1=1+2=3满足上式，
∴an=2n+1，
∵3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan，
∴bn+1= 
[（n+1）an+1﹣nan]= [（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）]=（4n+3） ，
又∵b1=3满足上式，
∴bn=（4n﹣1） 
．
（2）解：由（1）可知，Tn=31+7 
+11 
+…+（4n﹣1） ，
Tn=3 +7 +…+（4n﹣5） +（4n﹣1） ，
错位相减得： 
Tn=3+4（ + +…+ ）﹣（4n﹣1） ，
∴Tn= 
[3+4× 
﹣（4n﹣1） ]
= 
﹣ 
，
Tn﹣Tn+1= ﹣ ﹣ 
= 
＜0．
∴Tn＜Tn+1，即{Tn}为递增数列．
又T3= 
＜7，T4= 
＞7，
∴Tn＜7时，n的最大值为3．
【解析】（1）Sn=an+n2﹣1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时满足上式，可得an=2n+1.3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan，可得bn+1= 
[（n+1）an+1﹣nan]=（4n+3） ，又b1=3满足上式，可得bn=（4n﹣1） 
．（2）利用错位相减法与等比数列的求和公式可得Tn．可得Tn﹣Tn+1＜0．即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
