Question

3．已知椭圆的中心为原点O，长轴的左右端点分别为A、B、F为椭圆的左焦点，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若D、E是抛物线y²=-8x的准线上的两个动点，且|DE|=4，设△DEF的内切圆圆心C的坐标为（x，y）
①求△DEF的周长l关于x、y的表达式；
②求点C的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=1及$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算即得结论；
（2）由题意易得：圆心C（x，y）、半径r=2-x、FC=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$．
①通过内切圆的性质及勾股定理可得FU=FV=$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$，利用等量代换可得△DEF的周长l=8+2$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$；②利用面积的不同计算方法计算即得结论．

解答 解：（1）由题意可知：A（-a，0），B（a，0），F（-c，0），
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=1，∴（a-c，0）•（a+c，0）=a²-c²=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴a²=2，c²=1，∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意，圆心C（x，y），∴FC=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
∵D、E是抛物线y²=-8x的准线上的两个动点，
∴DE所在的直线为x=2，
∴圆C半径r=2-x，内切圆C与△DEF各边的切点如图所示．
①FU=FV=$\sqrt{F{C}^{2}-V{C}^{2}}$=$\sqrt{[（x+1）^{2}+{y}^{2}]-（2-x）^{2}}$=$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$，
∵|DE|=4，∴VE+DU=EW+DW=DE=4，
∴△DEF的周长为FD+DE+EF=2FU+2ED=2$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$+8，
即l=8+2$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$；
②由①可知△DEF的周长l=2$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$+8，
又∵S_△DEF=$\frac{1}{2}•EF•r$+$\frac{1}{2}•DE•r$+$\frac{1}{2}•DF•r$=$\frac{1}{2}•l•r$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}•$（8+2$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$）•（2-x），
又∵S_△DEF=$\frac{1}{2}•DE•（2+1）$=6，
∴$\frac{1}{2}•$（8+2$\sqrt{6x+{y}^{2}-3}$）•（2-x）=6，
化简得：6x³-43x²+52x-16+（x-2）²y²=0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、三角形的周长与面积的计算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．