题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，侧面
是边长为2的正三角形， 
, 
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）设
是棱
上的点，当
平面
时，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）
.
【解析】试题分析：
(1)由题意可证得
平面
，利用面面垂直的判断定理即可证得平面
平面
.
(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和题意可得二面角
的余弦值是
.
试题解析：
（1）取
中点
，连接
， 
，因为
是边长为2的正三角形，所以
， 
，
∵
，∴
， 
，
∴
，
∴
，∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
.
（2）连接
交
于
，连接
，
∵
平面
，∴
，
又
为
的中点，∴
为
的中点.
以
为原点，分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系，
则
， 
， 
， 
， 
， 
.
设平面
的一个法向量为
，
由
得
取
，得
.
由图可知，平面
的一个法向量
，
∴
，
∴二面角
的余弦值为
.
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【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下 | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
