Question

已知奇函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，当0＜x＜1时f（x）=-x³-x²
①求函数f（x）的解析式；
②若有f（1-a）+f（1-2a）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：①利用奇函数的定义可求出当-1＜x≤0时的解析式；②利用奇函数和单调性可去掉对应法则f，使抽象式变为显性式．

解答：解：①∵函数y=f（x）是在定义域（-1，1）上的奇函数，
∴对于任意x∈（-1，1），则f（-x）=-f（x），且f（0）=0．
设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，据已知得f（x）=-f（-x）=-[-（-x）³-（-x）²]=-x³+x²．
综上可知：f（x）=

-x3-x2，当0＜x＜1时 -x3+x2，当-1＜x≤0时

②∵f（1-a）+f（1-2a）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-2a），
又∵函数y=f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（1-a）＜f（2a-1），
又∵函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，
∴-1＜2a-1＜1-a＜1，
解之得0＜a＜

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点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，深刻理解以上性质是解决问题的关键．