Question

设函数.

（1）求的单调区间；

（2）设函数，若当时，恒成立，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1） 当时，，所以在上是增函数当时，在上是增函数，在上是减函数;（2）

【解析】

试题分析：（1）根据导数公式求出，对于含有的参数要进行讨论，或两种情况;（2）设,将恒成立，转化成恒成立，所以求,将分解因式，讨论的范围，确定的正负，讨论的单调性，确定恒成立的条件，确定的范围，此题考察了导数的应用，属于中等偏上的系统，两问都考察到了分类讨论的范围，这是我们在做题时考虑问题不全面，容易丢分的环节.

试题解析：（1）解：因为，其中． 所以， 2分

当时，，所以在上是增函数 4分

当时，令，得

所以在上是增函数，在上是减函数. 6分

（2）解：令，则，

根据题意，当时，恒成立. 8分

所以

（1）当时，时，恒成立.

所以在上是增函数，且，所以不符题意 10分

（2）当时，时，恒成立.

所以在上是增函数，且，所以不符题意 12分

（3）当时，时，恒有，故在上是减函数，

于是“对任意都成立”的充要条件是，

即，解得，故.

综上所述，的取值范围是. 15分

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.利用导数解决恒成立的问题.