Question

已知0＜b＜1+a，记关于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集为M．
（1）若集合M中的整数有无限个，求a的范围；
（2）若集合M中的整数恰有3个，求证：1＜a＜3．

Answer 1

分析：（1）由题意可得①若1-a=0，M={x|x＜

b

2

 }，显然M中的整数有无限个，符合条件．②1-a≠0，若要有无数个整数解，则应1-a＞0，即a＜1，再由已知0＜b＜1+a，得到a的范围．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1时，x的解在两个实数之间，集合M={x|

b

1-a

＜x＜

b

1+a

}，若要M中的整数恰有3个，则-3≤

b

1-a

＜-2，从而得到2＜

b

1-a

＜

1+a

1-a

，求得a＜3，进而得到命题成立．

解答：解：（1）由（x-b）²＞（ax）² 得[（1+a）x-b][（1-a）x-b]＞0，由于0＜b＜1+a，
①若1-a=0，即a=1时，不等式化为（2x-b）（-b）＞0，
解得M={x|x＜

b

2

 }，显然M中的整数有无限个，符合条件．
②1-a≠0，即a≠1时，若要有无数个整数解，则应1-a＞0，即a＜1；
再由已知条件0＜b＜1+a，可得a＞-1．
综上可知-1＜a≤1．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1时，x的解在两个实数之间，不等式即（x-

b

1+a

）（x-

b

1-a

）＜0，
又可得0＜

b

1+a

＜1，

b

1-a

＜0，所以集合M={x|

b

1-a

＜x＜

b

1+a

}．
若要M中的整数恰有3个，则 -3≤

b

1-a

＜-2，即 2＜

b

1-a

≤3，
所以，2＜

b

1-a

＜

1+a

1-a

，解得a＜3．
综上可知1＜a＜3．

点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．