Question

【题目】已知 为定义在 上的偶函数，当 时，有 ，且当 时， ，给出下列命题：
① 的值为 ；
②函数 在定义域上为周期是2的周期函数；
③直线 与函数 的图像有1个交点；
④函数 的值域为 .
其中正确的命题序号有 .

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵f（x）为定义在R上的偶函数，

且当x≥0时，有f（x+1）=﹣f（x），

且当x∈[0，1）时，f（x）=log2（x+1），

故函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：f（2013）+f（﹣2014）=0+0=0，故①正确；

函数f（x）在定义域上不是周期函数，故②错误；

直线y=x与函数f（x）的图象有1个交点，故③正确；

函数f（x）的值域为（﹣1，1），故④正确；

故正确的命题序号有：①③④

故答案为：①③④

根据已知中函数的奇偶性，及当 x ≥ 0 时，有 f ( x + 1 ) = f ( x ) 可以得出函数是周期函数；再由部份区间上的解析式，画出函数的图象，可对各选项分析得出正确选项。