题目内容
5．设f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，求证：（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1
（2）f（2x）=2f（x）•g（x）
（3）f（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2．
分析 利用乘法公式与指数幂的运算性质即可得出．
解答 证明：（1）[g（x）]2-[f（x）]2=$（\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}）^{2}$-$（\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}）^{2}$=$\frac{2-（-2）}{4}$=1=右边，∴左边=右边．
（2）右边=2×$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$×$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$=$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{2}$=f（2x）=左边，
∴左边=右边．
（3）右边=$（\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}）^{2}$+$（\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}）^{2}$=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$=f（2x）=左边，∴左边=右边．
点评 本题考查了乘法公式与指数幂的运算性质，考查了推理能力用途计算能力，属于中档题．
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20．下列对于函数f（x）=3+cos2x，x∈（0，3π）的判断正确的是（ ）
| A． | 函数f（x）的周期为π | |
| B． | 对于?a∈R，函数f（x+a）都不可能为偶函数 | |
| C． | ?x0∈（0，3π），使f（x0）=4 | |
| D． | 函数f（x）在区间$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$内单调递增 |
17．定义在R上的函数f（x）与f（x+1）均为奇函数，且当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=$\sqrt{x}$，则f（$\frac{31}{4}$）=（ ）
| A． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |