题目内容

[1]已知矩阵A=
33
cd
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A，并写出A的逆矩阵；
（2）若向量β=
2
7
，试计算M50β．
[2]已知f(x)=
1+x2
是定义在区间[-1，1]上的函数，设x1，x2∈[-1，1]且x1≠x2．
（1）求证：|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|；
（2）若a2+b2=1，求证：f(a)+f(b)≤
6
．
分析：[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
可得，c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
，
可得3c-2d=-2，由此能求出矩阵A和A的逆矩阵．
（2）令β=mα1+nα2可解得m=5，n=-1，即β=5α1-α2．由此能求出M50β．
[2]（1）|f(x1)-f(x2)|=
|x1-x2||x1+x2|
1+x12
+
1+x22
，由此可证明|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|；
（2）f(a)+f(b)=
1+a2
+
1+b2
由此能够推导出
1+a2
+
1+b2
≤
6
．
解答：解：[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
可得，
33
cd
1
1
=6
1
1
，即c+d=6；（1分）
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
，
可得
33
cd
3
-2
=
3
-2
，即3c-2d=-2，（2分）
解得
c=2
d=4
即A=
33
24
，（3分）
A逆矩阵是
2
3
-
1
2
-
1
3
1
2
．（5分）
（2）令β=mα1+nα2可解得m=5，n=-1，即β=5α1-α2．（7分）
所以M50β=M50（5α1-α2）
=5（M50α1）-（M50α2）
=5（λ150α1）-（λ250α2）
=5•650
1
1
-150
3
-2
•=
5•650-3
5•650+2
．（10分）
（选修4-5：不等式选讲）
证：[2]（1）|f(x1)-f(x2)|=
|x1-x2||x1+x2|
1+x12
+
1+x22

∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|，
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
＞|x1|+|x2|，
∴|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．（5分）
（2）f(a)+f(b)=
1+a2
+
1+b2
，
∵[(
1+a2
)2+(
1+b2
)2](12+12)≥(
1+a2
+
1+b2
)2a2+b2=1，
∴
1+a2
+
1+b2
≤
6
．（10分）
点评：本题考查二阶行列式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（I）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
01
a0
，矩阵B=
02
b0
，直线l1：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3：x+y+4=0，求直线l2的方程．
（II）选修4-4：坐标系与参数方程
求直线
x=-1+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长．
（III）选修4-5：不等式选讲
若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|＜a，求实数a的取值范围．
已知矩阵A=
ab
cd
，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值-1的一个特征向量为α2=
1
-1
，则矩阵A=
 
．
三题中任选两题作答
（1）（2011年江苏高考）已知矩阵A=
11
21
，向量β=
1
2
，求向量α，使得A2α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为(4，
π
2
)，若直线l过点P，且倾斜角为
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；  ②试判定直线l和圆C的位置关系．
（3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．
（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
33
cd
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

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