题目内容
（2011•新疆模拟）在平面几何里，已知Rt△SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，则AB边上的高h=
；现在把结论类比到空间：三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h'=
．
| ab | ||
|
| abc | ||
|
| abc | ||
|
分析：设S到平面ABC的距离为h，过点S向底面ABC引垂线，垂足为O，连CO并延长交AB于M，连接SM，则SM⊥AB，CM⊥AB，在直角三角形SAB中可求得AB=
，SM=
，同理在直角三角形CSM中可求得|CM|=
，于是S△ABC=
•|AB|•|CM|=
•
•
=
•
，由VS-ABC=VC-ABS，即可求得S到平面ABC的距离为h′．
| a2+b2 |
| ab | ||
|
c2+
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a2+b2 |
c2+
|
| 1 |
| 2 |
| a2b2+a2c2 +b2c2 |
解答：解：把结论类比到空间：三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h'=
．
证明：设S到平面ABC的距离为h′，过点S向底面ABC引垂线，垂足为O，连CO并延长交AB于M，连接SM，则SM⊥AB，CM⊥AB，
在直角三角形SAB中，由勾股定理得|AB|=
，又ab=|AB|•|SM|
∴|SM|=
，
∵SA，SB，SC两两相互垂直，故SC⊥平面SAB，SM?平面SAB，
∴SC⊥SM，
∵在直角三角形CSM中，|CM|=
，
∴是S△ABC=
•|AB|•|CM|=
•
•
=
•
，
由VS-ABC=VC-ABS可得：
•
abc=
S△ABC•h′=
•
•
•h′，
∴h′=
，
∴S到平面ABC的距离h′=
．
故答案为：
．
| abc | ||
|
证明：设S到平面ABC的距离为h′，过点S向底面ABC引垂线，垂足为O，连CO并延长交AB于M，连接SM，则SM⊥AB，CM⊥AB，
在直角三角形SAB中，由勾股定理得|AB|=
| a2+b2 |
∴|SM|=
| ab | ||
|
∵SA，SB，SC两两相互垂直，故SC⊥平面SAB，SM?平面SAB，
∴SC⊥SM，
∵在直角三角形CSM中，|CM|=
c2+
|
∴是S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a2+b2 |
c2+
|
| 1 |
| 2 |
| a2b2+a2c2 +b2c2 |
由VS-ABC=VC-ABS可得：
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| a2b2+a2c2 +b2c2 |
∴h′=
| abc | ||
|
∴S到平面ABC的距离h′=
| abc | ||
|
故答案为：
| abc | ||
|
点评：本题考查类比推理，难点在于线面垂直（SC⊥平面SAB）的性质（SC⊥SM）的应用，着重考查类比推理的思想及等体积轮换公式的应用，属于中档题．
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