题目内容
【题目】已知f(x)=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|.
(1)求证:f(x)≥5;
(2)若对任意实数x,15﹣2f(x)<a2+ 都成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵ ,
∴f(x)的最小值为5,∴f(x)≥5
(2)解:由(Ⅰ)知:15﹣2f(x)的最大值等于5.
∵ ,
“=”成立 ,即 ,
∴当 时, 取得最小值5.
当 时, ,
又∵对任意实数x, 都成立,
∴ .∴a的取值范围为
【解析】(1)通过讨论x的范围,得到关于f(x)的分段函数,从而求出f(x)的最小值即可;(2)根据基本不等式的性质求出a的范围即可.
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题.
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