Question

已知函数f（x）=lg（x²-2ax+a）．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围，并求f（x）定义域．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域是使对数的真数有意义x的取值范围，故函数定义域为R等价于真数对应的二次函数取值恒大于零，由此不难列出根的判别式小于0，从而得到实数a的取值范围．
（2）函数f（x）的值域为R，说明对数的真数取到所有的正数，由此可得（0，+∞）包含于真数对应二次函数的值，由此可得根的判别大于或等于0，从而得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）要使x²-2ax+a＞0恒成立，只要△=4a²-4a＜0，---------------（2分）
得0＜a＜1．------------------------------------------------------------（4分）
（2）要使函数的值域是R，只要△=4a²-4a≥0，得a≤0或a≥1．------（8分）
这时由x²-2ax+a＞0得　x＜a-

a2-a

或x＞a+

a2-a

，-------（10分）
所以这时f（x）定义域是(-∞， a-

a2-a

 )∪( a+

a2-a

， +∞)．-------（12分）

点评：本题着重考查了对数型函数的定义域和值域、函数的图象与性质等知识点，属于中档题．