题目内容

已知函数f(x)=lg(x2-2ax+a).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围,并求f(x)定义域.
分析:(1)函数f(x)的定义域是使对数的真数有意义x的取值范围,故函数定义域为R等价于真数对应的二次函数取值恒大于零,由此不难列出根的判别式小于0,从而得到实数a的取值范围.
(2)函数f(x)的值域为R,说明对数的真数取到所有的正数,由此可得(0,+∞)包含于真数对应二次函数的值,由此可得根的判别大于或等于0,从而得到实数a的取值范围.
解答:解:(1)要使x2-2ax+a>0恒成立,只要△=4a2-4a<0,---------------(2分)
得0<a<1.------------------------------------------------------------(4分)
(2)要使函数的值域是R,只要△=4a2-4a≥0,得a≤0或a≥1.------(8分)
这时由x2-2ax+a>0得 x<a-
a2-a
x>a+
a2-a
,-------(10分)
所以这时f(x)定义域是(-∞, a-
a2-a
 )∪( a+
a2-a
, +∞)
.-------(12分)
点评:本题着重考查了对数型函数的定义域和值域、函数的图象与性质等知识点,属于中档题.
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