题目内容
求函数f（x）=2x3-6x2+1（x∈[-2，3]）的单调区间及最值．
分析：先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，再根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，从而得到函数的最值．
解答：解：函数的定义域为x∈[-2，3]，f′（x）=6x2-12x=6x（x-2）…（2分）
令f′（x）=0 得点x1=0，x2=2…（4分）
点x1=0，x2=2把定义域分成三个小区间，下表讨论
…（6分）
所以，函数f（x）在区间[-2，0]，[2，3]单调递增，在区间[0，2]上单调递减．…（8分）
因为，f（0）=1，f（-2）=-39，f（2）=-7，f（3）=1…（10分）
当x=3或x=0时，取最大值为1，当x=-2时，取最小值为-39…（12分）
令f′（x）=0 得点x1=0，x2=2…（4分）
点x1=0，x2=2把定义域分成三个小区间，下表讨论
| （-2，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，3） | |
| y′ | + | 0 | - | 0 | + |
| ↗ | 1 | ↘ | -7 | ↗ |
所以，函数f（x）在区间[-2，0]，[2，3]单调递增，在区间[0，2]上单调递减．…（8分）
因为，f（0）=1，f（-2）=-39，f（2）=-7，f（3）=1…（10分）
当x=3或x=0时，取最大值为1，当x=-2时，取最小值为-39…（12分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．
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