题目内容
(本小题满分13分)设
是定义在
上的函数,对任意实数
、
,都有
,且当
<0时,
>1.
(1)证明:①
;
②当
>0时,0<
<1;
③
是
上的减函数;
(2)设
,试解关于
的不等式
;







(1)证明:①

②当


③


(2)设



(1)略
(2)当2<
,即
>
时,不等式的解集为
≤
≤
;
当2=
,即
=
时,
≤0,不等式的解集为
;
当2>
,即
<
时,不等式的解集为
≤
≤2
.
(2)当2<







当2=





当2>






解:(I)证明:(1)在
中,令
得
即
∴
或
,
若
,则当
<0时,有
,与题设矛盾,
∴
(2)当
>0时,
<0,由已知得
>1,
又
,
,
∴ 0<
=
<1, 即
>0时,0<
<1.
(3)任取
<
,则
,
∵
<0,∴
>1,又由(1)(2)及已知条件知
>0,
∴
>
,∴
在定义域
上为减函数.
(II)
=

又
,
在
上单调递减.
∴原不等式等价于
≤0
不等式可化为
≤0
当2<
,即
>
时,不等式的解集为
≤
≤
;
当2=
,即
=
时,
≤0,不等式的解集为
;
当2>
,即
<
时,不等式的解集为
≤
≤2
.


得




若



∴

(2)当



又


∴ 0<




(3)任取



∵



∴




(II)



又



∴原不等式等价于

不等式可化为

当2<







当2=





当2>







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