Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{x}}，x≥0}\\{-x．x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为．

• A． （$\frac{1}{e}$，2）∪（2，e）
• B． （$\frac{1}{e}$，1）
• C． （1，$\frac{1}{e}$+1）
• D． （$\frac{1}{e}$，e）

Answer 1

分析 由方程f²（x）-mf（x）+m-1=0可解得f（x）=1或f（x）=m-1；从而可得方程f（x）=m-1有3个不是-1的根；再分析函数f（x）的单调性及取值即可．

解答 解：解方程f²（x）-mf（x）+m-1=0得，
f（x）=1或f（x）=m-1；
解f（x）=1得x=-1，
故方程f（x）=m-1有3个不是-1的根；
当x≥0时，
f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$；
故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
f（0）=0，f（1）=$\frac{1}{e}$，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{x}{{e}^{x}}$=0；
当x＜0时，
f（x）=-x在（-∞，0）上是减函数，且+∞→0；
故若使方程f（x）=m-1有3个不是-1的根，
则0＜k-1＜$\frac{1}{e}$；
即$\frac{1}{e}$＜k＜1+$\frac{1}{e}$；
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．