Question

已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c．
（Ⅰ）若a，b，c是从1，2，3，4，5中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率；
（Ⅱ）若a，b，c是从区间（0，1）内任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率．

Answer 1

（Ⅰ）首先任选3个数，共有C₅³=10种情况，
其中能构成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三种情况，
故能构成三角形三边的概率是

3

10

．
（Ⅱ）记Ω={（a，b，c）|

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1

}，a，b，c能构成三角形三边长为事件A，
则A={（a，b，c）|

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1 a+b＞c a+c＞b b+c＞a

}
在空间直角坐标系oabc内画出满足以上条件的区域，如图所示，
可求得正方体的体积是1，三棱锥O-ABC的体积与三棱锥D-ABC和是

1

2

，
由几何概型的计算得，
从区间（0，1）内任取的三个数a，b，c能构成三角形三边长的概率为P（A）=

VO-ABC+VD-ABC

正方体的体积

=

1 2

1

=

1

2