Question

【题目】已知函数（），其中为自然对数的底数， .

（1）判断函数的单调性，并说明理由；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0， 为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；

（2）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．

试题解析：

（1）由题可知， ，则

（ⅰ）当时， ，函数为上的减函数

（ⅱ）当时，令，得，

①若，则，此时函数为单调递减函数；

②若，则，此时函数为单调递增函数．

（2）由题意，问题等价于，不等式恒成立，

即， 恒成立，令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．

由，显然在上单调递减．

令， ，则时，

所以在上也是单调递减函数，所以函数在上单调递减，

所以函数在的最大值为，

故， 恒成立时实数的取值范围为