Question

已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=

x

bx+1

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{b_n}同时满足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②数列{b_n}的每一项都是数列{a_n}中的某一项．试判断数列{b_n}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{b_n}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{b_n}是无穷数列，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

1

an+1

=f(

1

an

)=

1 an

b 1 an +1

=

1

an+b

可得a_n+1=a_n+b，，从而可证数列{a_n}是以b为公差的等差数列，进而可求通项
（2）当a=8b时，可得a_n=（n+7）b，则b₁=8b，b₂=12b，则有q=

3

2

，可求bn=8b•(

3

2

)n-1，由b₃=18b，b₄=27b，b5=

81

2

b可得b₅∉{a_n
从而可判断
（3）由b₂=（m+7）b，可得q=

m+7

8

，此时bn=8(

m+7

8

)n-1b
分别就进行讨论（i）当m=8k+1（k∈N）时，

m+7

8

=k+1为正整数，（ii）当m=8k+5（k∈N）时，

m+7

8

=

2k+3

2

（iii）当m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）

解答：解：（1）∵

1

an+1

=f(

1

an

)=

1 an

b 1 an +1

=

1

an+b

∴a_n+1=a_n+b，∴数列{a_n}是以b为公差的等差数列
∵a₁=a，∴a_n=a+（n-1）b
（2）当a=8b时，a_n=（n+7）b
∴b₁=8b，b₂=12b，∴q=

3

2

，∴bn=8b•(

3

2

)n-1
∴b₃=18b，b₄=27b，b5=

81

2

b
显然，

81

2

不是整数，即b₅∉{a_n}，∴{b_n}是项数最多为4的有穷数列
（3）∵b₂=（m+7）b，∴q=

m+7

8

，此时bn=8(

m+7

8

)n-1b
i）当m=8k+1（k∈N）时，

m+7

8

=k+1为正整数，
此时{b_n}中每一项均为{a_n}中的项，∴{b_n}为无穷数列；
ii）当m=8k+5（k∈N）时，

m+7

8

=

2k+3

2

此时当n=1，2，3，4，8(

2k+3

2

)n-1为大于8的正整数，
但n=5时，8(

2k+3

2

)4不是正整数，∴此时{b_n}是项数最多为4的有穷数列；
iii）当m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）时，
此时

m+7

8

为分母是4或8的最简分数，
只有当n=1，2时，8(

2k+3

2

)n-1才是大于8的正整数，
而当n≥3时，8(

2k+3

2

)n-1均为分数，∵{b_n}仅有两项，∴此时{b_n}不能构成等比数列．

点评：本题主要考查了等差数列的及等比的项公式及数列知识的综合应用，解题的关键是考试具备一定的逻辑推理与计算的能力．