题目内容
【题目】已知F为抛物线的焦点,过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时,
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M,在抛物线C上是否存在点P,使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)存在;
【解析】
(1)求出抛物线的焦点坐标,根据题意,令,求出纵坐标的值,再根据
进行求解即可;
(2)设直线的方程,与抛物线方程联立,求出直线PA,PM,PB的斜率表达式,结合等差数列和一元二次方程根与系数关系,得到一个等式,根据等式成立进行求解即可.
解:(1)因为,在抛物线方程
中,令
,可得
,
所以当直线与轴垂直时
,解得
,
抛物线的方程为.
(2)不妨设直线的方程为
,
因为抛物线的准线方程为
,所以
.
联立消去
,得
,
设,
,则
,
,
若存在定点满足条件,则
,
即,
因为点均在抛物线上,所以
.
代入化简可得,
将,
代入整理可得
,即
,
因为上式对恒成立,所以
,解得
,
将代入抛物线方程,可得
,
于是点即为满足题意的定点.
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