Question

【题目】已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）y=（x﹣4）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；

（Ⅱ）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．

试题解析：（Ⅰ）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，

故b2=a2﹣c2=3，

椭圆的标准方程是．

（Ⅱ）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，

设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．

当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．

由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①

由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，

解得k2＜，

x1+x2=，

由又点A，B的中点横坐标为．可得

解得k2=，即有k=±．

y=（x﹣4）．

直线l的方程：y=（x﹣4）．