题目内容
已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,过其右焦点且倾斜角为45°的直线被双曲线截得的弦MN的长为6.(Ⅰ)求此双曲线的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与该双曲线交于两个不同点A、B,且以线段AB为直径的圆过原点,求定点Q(0,-1)到直线l的距离d的最大值,并求此时直线l的方程.
【答案】分析:(1)设出双曲线的标准方程根据离心率求得a和c的关系,把直线MN的方程代入双曲线方程整理得2x2+4ax-7a2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而用弦长公式表示出||MN|求得a,进而根据离心率求得c,进而求得b,则双曲线方程可得.
(2)直线l与双曲线法才联立消去y,设A(x3,y3),B(x4,y4),利用韦达定理表示出x3+x4和x3x4,依据以线段AB为直径的圆过原点,所以x3x4+y3y4=0.代入求得
由点到直线的距离表示出d,根据k的范围确定m的范围,进而求得d的最大值,此时的直线l的方程可得.
解答:解:(Ⅰ)设双曲线的方程是
(a>0,b>0),
则由于离心率
,所以c=2a,b2=3a2.
从而双曲线的方程为
,且其右焦点为F(2a,0).
把直线MN的方程y=x-2a代入双曲线的方程,消去y并整理,得2x2+4ax-7a2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2a,
.
由弦长公式,得
=
=6.
所以a=1,b2=3a2=3.
从而双曲线的方程是
.
(Ⅱ)由y=kx+m和
,消去y,得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
根据条件,得△=4k2m2-4(3-k2)(-m2-3)>0且3-k2≠0.
∴m2+3>k2≠3.
设A(x3,y3),B(x4,y4),则
,
.
由于以线段AB为直径的圆过原点,所以x3x4+y3y4=0.
即(1+k2)x3x4+km(x3+x4)+m2=0.
从而有
,即
.
∴点Q到直线l:y=kx+m的距离为:
.
由
≥0,解得
且
.
由
≠3,解得![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/18.png)
.
所以当
时,d取最大值
,此时k=0.
因此d的最大值为
,此时直线l的方程是
.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题是历年高考命题的热点,试题具有一定的综合性,覆盖面大,不仅考查“三基”掌握的情况,而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算,以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
(2)直线l与双曲线法才联立消去y,设A(x3,y3),B(x4,y4),利用韦达定理表示出x3+x4和x3x4,依据以线段AB为直径的圆过原点,所以x3x4+y3y4=0.代入求得
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解答:解:(Ⅰ)设双曲线的方程是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/1.png)
则由于离心率
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/2.png)
从而双曲线的方程为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/3.png)
把直线MN的方程y=x-2a代入双曲线的方程,消去y并整理,得2x2+4ax-7a2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2a,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/4.png)
由弦长公式,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/5.png)
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所以a=1,b2=3a2=3.
从而双曲线的方程是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/7.png)
(Ⅱ)由y=kx+m和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/8.png)
根据条件,得△=4k2m2-4(3-k2)(-m2-3)>0且3-k2≠0.
∴m2+3>k2≠3.
设A(x3,y3),B(x4,y4),则
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由于以线段AB为直径的圆过原点,所以x3x4+y3y4=0.
即(1+k2)x3x4+km(x3+x4)+m2=0.
从而有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/11.png)
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∴点Q到直线l:y=kx+m的距离为:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/13.png)
由
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由
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所以当
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因此d的最大值为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/22.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211921500416726/SYS201310232119215004167018_DA/23.png)
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题是历年高考命题的热点,试题具有一定的综合性,覆盖面大,不仅考查“三基”掌握的情况,而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算,以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
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