题目内容

2003年10月15日,我国的“长征”二号F型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船,这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(
2
m)]+4ln2
(其中k≠0,lnx是以e为底x的对数).当燃料重量为(
e
-1)
m吨时,该火箭的最大速度为4(km/s).
(1)求“长征”二号系列火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y=f(x);
(2)已知“长征”二号F型火箭的起飞重量是479.8吨,则应装载多少吨燃料(精确到0.1吨,取e=2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8(km/s),顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道?
分析:(1)根据火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(
2
m)]+4ln2
,当燃料重量为(
e
-1)
m吨时,该火箭的最大速度为4(km/s).可求函数关系式;
(2)由已知M=m+x=479.8,则m=479.8-x,又y=8,代入(1)中函数关系式,即可求得.
解答:解:(1)由题意,4=k[ln(m+(
e
-1)m)-ln(
2
m)]+4ln2
,…(2分)
则k=8,…(4分)
所以y=8[ln(m+x)-ln(
2
m)]+4ln2=8ln
m+x
m
(未化简,不扣分)…(2分)
(2)由已知M=m+x=479.8,则m=479.8-x,又y=8,
代入上式得,8=8[ln479.8-ln(
2
(479.8-x))]+4ln2
,…(1分)
8=8ln
479.8
479.8-x
…(3分)
x=303.3…(3分)
答:应装载303.3吨燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8(km/s).…(1分)
点评:本题以“长征”二号F型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船为素材,考查函数模型的构建,关键是实际问题向数学问题的转化.
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