Question

已知函数f（x）=ax³-bx²的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰与直线x-3y=0垂直．则函数f（x）的解析式为________．

Answer 1

f（x）=x³+3x²
分析：由f（x）=ax³-bx²，知f′（-1）=3a+2b，由函数f（x）=ax³-bx²的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰与直线x-3y=0垂直，知，由此能求出函数f（x）的解析式．
解答：∵f（x）=ax³-bx²，
∴f′（x）=3ax²-2bx，
∴f′（-1）=3a+2b，
∵函数f（x）=ax³-bx²的图象过点P（-1，2），
且在点P处的切线恰与直线x-3y=0垂直，
∴，
解得a=1，b=-3．
∴f（x）=x³+3x²．
故答案为：f（x）=x³+3x²．
点评：本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，具体涉及到导数的几何意义，直线垂直的性质等知识点，是基础题．解题地要认真审题，仔细解答．