题目内容
10．已知an=n，bn=2n，求数列{an•bn2}的前n项和．分析 通过an=n、bn=2n可知an•bn2=n•4n，利用Sn=1•4+2•42+…+n•4n与4Sn=1•42+2•43+…+（n-1）•4n+n•4n+1错位相减、计算即得结论．
解答 解：∵an=n，bn=2n，
∴an•bn2=n•4n，
记数列{an•bn2}的前n项和为Sn，
则Sn=1•4+2•42+…+n•4n，
4Sn=1•42+2•43+…+（n-1）•4n+n•4n+1，
两式相减得：-3Sn=4+42+43+…+4n-n•4n+1
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4n+1
=-$\frac{4}{3}$-（4n-$\frac{4}{3}$）4n，
∴Sn=$-\frac{1}{3}$[-$\frac{4}{3}$-（4n-$\frac{4}{3}$）4n]=$\frac{4}{9}$+$\frac{3n-1}{9}$•4n+1．
点评 本题考查数列的求和，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．
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