Question

【题目】如图，已知三棱柱中，平面平面ABC，，.

（1）证明：；

（2）设，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要证明，只需证明平面即可；

（2）取的中点为M，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算即可.

（1）证明：连结.

∵，四边形为菱形，∴.

∵平面平面ABC，平面平面，

平面ABC，，

∴平面.

又∵，∴平面，∴.

∵，

∴平面，而平面，

∴.

（2）取的中点为M，连结CM.

∵，四边形为菱形，，

∴，.

又∵，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图.

设，，，，

∴，，，，.

由（1）知，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则并且，

∴.

令，得，，

即.

∴，

∴二面角的正弦值为.

【点晴】

本题主要考查线线垂直的证明，坐标法求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道中档题.