Question

(1)椭圆C:+=1(a＞b＞0)与x轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:AN·BM为定值b²-a².

(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线C:-=1(a＞0,b＞0)与x轴交于A、B两点,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:AN·BM为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).

Answer 1

(1)证明:设点P(x₀,y₀),x₀≠±a.依题意,得A(-a,0),B(a,0),

∴直线PA的方程为y=(x+a).

令x=0,得y_m=,4分同理得y_n=,

∴y_my_n=.∵点P(x₀,y₀)是椭圆C上一点,∴=1.∴y₀²=(a²-x₀²).

∴y_my_n==b².8分∵=(a,y_n),=(-a,y_m),∴·=-a²+y_my_n=b²-a².10分

(2)-(a²+b²).