Question

在平面直角坐标系中，已知A（-1，2），B（0，x₂+2），C（x+2tanθ-1，y+3）三点共线．θ为常数且θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）求y关于x的函数y=f （x）的表达式；
（2）是否存在常数tanθ，使函数y=f （x）在[-1，

3

]上的最小值为tanθ？如果存在，求出tanθ，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由两个向量共线的性质求得y关于x的函数y=f （x）的表达式．
（2 ）函数f（x）的对称轴为x=-tanθ，利用二次函数的性质，分类讨论求得使函数y=f （x）在[-1，

3

]上的最小值为tanθ时的tanθ的值．

解答：解：（1）由于已知A（-1，2），B（0，x₂+2），C（x+2tanθ-1，y+3），
故有

AB

=(1，x)，

AC

=(x+2tanθ，y+1)．
∵A，B，C三点共线，

AB

∥

AC

，故有 y+1=x（x+2tanθ），即 y=f（x）=x²+2tanθ•x-1．…（4分）
（2 ）函数f（x）的对称轴为x=-tanθ，
①当-tanθ＞

3

时，即tanθ＜-

3

，当x=

3

时，函数f（x）取得
最小值为 2+2

3

tanθ=tanθ，解得 tanθ=-

4 3 +2

11

＞-

3

（舍）． …（6分）
②当-1≤-tanθ≤

3

时，即-

3

≤tanθ≤1时，则当x=-tanθ时，
f（x）的最小值为-tan²θ-1=tanθ，故 tan²θ+tanθ+1=0，tanθ无解．…（8分）
③当-tanθ＜-1时，即tanθ＞1时，则当x=-1时，f（x）的最小值为-2tanθ=tanθ，解得tanθ=0＜1（舍）． …（10分）
综上：不存在常数tanθ，使函数y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值为tanθ．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，求三角函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．