Question

【题目】已知函数 是的一个极值点.

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）.（2）0＜a＜1．

【解析】

（1）求导函数，利用f'（2），可求b的值，进而利用f'（x）＞0可得函数f（x）的单调增区间，f'（x）＜0可得函数f（x）的单调减区间；

（2）x∈[1，+∞）时，恒成立等价于，由此可求a的取值范围．

（1）求导函数，可得f'（x）＝x2﹣2bx+2

∵x＝2是f（x）的一个极值点

∴f'（2）＝4﹣4b+2＝0，∴，∴f'（x）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），

由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；

由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2）.

（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增

∴当x＝2时，函数f（x）取得最小值，f（x）min＝f（2），

x∈[1，+∞）时，恒成立等价于

即a2﹣a＜0，

∴0＜a＜1．