题目内容

下列命题：
① $数学公式$ （1-e^x）dx=1-e；
②命题“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x≤3，x²+2x+1≤0”；
③已知x∈R，则“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件；
④已知 $数学公式$ ， $数学公式$ =（-2，-1），则 $数学公式$ 在 $数学公式$ 上的投影为-2；
⑤已知函数 $数学公式$ 的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于 $数学公式$ 对称，
其中正确的命题是________．

③
分析：对于命题①，直接求积分即可判断真假；命题②是全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，由此可判断命题②的真假；命题③由x＞2能推出x＞1，但由x＞1不能推出x＞2；命题④考查了向量在向量上的投影，首先求出给出的两个向量的数量积，再求出向量 $\text{[math]}$ 的模，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影可求；命题⑤首先对复合函数求导，根据导函数的最大值是3求出ω的值，的导函数解析式后把 $\text{[math]}$ 代入函数解析式验证，函数能取最大值则是对称轴，否则不是．
解答： $\text{[math]}$ （1-e^x）dx= $\text{[math]}$ =1-（e¹-e⁰）=2-e，∴命题①错误；
命题“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x＞3，x²+2x+1≤0”，∴命题②错误；
由x＞2，一定有x＞1，反之，由x＞1，不一定有x＞2，如x= $\text{[math]}$ ．
∴“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，∴命题③正确；
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（-2，-1），设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，
则 $\text{[math]}$ =3×（-2）+4×（-1）=-10，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影为 $\text{[math]}$ ．∴命题④错误；
由f（x）=sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）-2，则f^′（x）=ω•cos（ωx $\text{[math]}$ ），
∵函数 $\text{[math]}$ 的导函数的最大值为3，∴ω=3．
则f（x）=sin（3x+ $\text{[math]}$ ）-2，而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞-3，∴函数f（x）的图象不关于 $\text{[math]}$ 对称．
∴命题⑤错误．
所以正确的命题为③．
故答案为③．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了微积分基本定理，训练了复合函数的求导法则，正确理解向量在向量上的投影是解答该题的关键，此题是中档题．