题目内容

已知函数y=log2(n∈N*).

(1)当n=1,2,3,…时,把已知函数的图象和直线y=1的交点的横坐标依次记为a1,a2,a3,……,求证a1+a2+a3+…+an<1;

(2)对于每一个n的值,设An、Bn为已知函数的图象上与x轴距离为1的两点,求证:n取任意一个正整数时,以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切,并求出这条定直线的方程和切点的坐标.

答案:
解析:

  解答  原函数可化为:y= x

  解答  原函数可化为:y=x

  (1)y=1时,可求得x=()n

  即an=()n=()()n-1

  ∴{an}是以为首项,为公比的等比数列.

  a1+a2+a3+…+an=1-<1

  (2)同理可以求An、Bn的横坐标,可得An、Bn的坐标分别为(,1),和(2n,-1),因此|AnBn|==2n,因此AnBn中点C到y轴距离

  ∴以C为圆心AnBn为直径的圆必定与定直线y轴相切,这条定直线的方程为x=0,点C的纵坐标为0,可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点即切点,所以切点坐标为(0,0).


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