Question

已知函数y=kx与y=x²+2（x≥0）的图象相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l₁，l₂分别是y=x²+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l₁，l₂与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x₁＜x₂时，写出t以x₁为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

Answer 1

（I）由方程

y=kx y=x2+2

消y得x²-kx+2=0．①
依题意，该方程有两个正实根，
故

△=k2-8＞0 x1+x2=k＞0

解得k＞2

2

．
（II）由f′（x）=2x，求得切线l₁的方程为y=2x₁（x-x₁）+y₁，
由y₁=x₁²+2，并令y=0，得t=

x1

2

-

1

x1

，x₁，x₂是方程①的两实根，
且x₁＜x₂，故x₁=

k- k2-8

2

=

4

k+ k2-8

，k＞2

2

，
x₁是关于k的减函数，所以x₁的取值范围是(0，

2

)．
t是关于x₁的增函数，定义域为(0，

2

)，所以值域为（-∞，0）．
（III）当x₁＜x₂时，由（II）可知|OM|=|t|=-

x1

2

+

1

x1

．
类似可得|ON|=

x2

2

-

1

x2

．|OM|-|ON|=-

x1+x2

2

+

x1+x2

x1x2

．
由①可知x₁x₂=2．
从而|OM|-|ON|=0．
当x₂＜x₁时，有相同的结果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．