Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定数列{b_n}的通项，利用再写一式，两式相减的方法，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定b_n的表达式，利用要使

bn+1

bn

是一个与n无关的常数，当且仅当a₁=d≠0，即可得到结论．

解答：解：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为bn=2n-1，…（2分）
由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1（n≥2），
两式相减可得an•bn=n•2n-1，即a_n=n．…（5分）
当n=1时，a₁=1，从而对一切n∈N^*，都有a_n=n．…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=n．…（7分）
（2）法1：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，an•bn=n•2n-1，∴bn=

n•2n-1

a1+(n-1)d

（n≥2）
∴bn=

n•2n-1

(a1-d)+nd

=

2n-1

a1-d n +d

…（11分）                                             
要使

bn+1

bn

是一个与n无关的常数，当且仅当a₁=d≠0…（12分）
即：当等差数列{a_n}的满足a₁=d≠0时，数列{b_n}是等比数列，其通项公式是bn=

2n-1

d

；…（13分）
当等差数列{a_n}的满足a₁≠d时，数列{b_n}不是等比数列．            …（14分）
法2：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，an•bn=n•2n-1，即bn=

n•2n-1

a1+(n-1)d

（n≥2），若数列{b_n}是等比数列，
则

bn+1

bn

=

2[dn2+a1n+(a1-d)]

dn2+a1n

…（11分）
要使上述比值是一个与n无关的常数，须且只需a₁=d≠0．…（12分）
即：当等差数列{a_n}的满足a₁=d≠0时，数列{b_n}是等比数列，其通项公式是bn=

2n-1

d

，…（13分）
当等差数列{a_n}的满足a₁≠d时，数列{b_n}不是等比数列．          …（14分）

点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的确定，考查学生的计算能力，属于中档题．