Question

15．已知函数f（x）=e^x-x²-ax，（其中a∈R，无理数e=2.71828）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥2时，f（x）≥0 求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到切线方程；
（2）运用参数分离和令g（x）=$\frac{{e}^{x}-{x}^{2}}{x}$，求出导数，再令h（x）=xe^x-e^x-x²，求出导数判断单调性可得g（x）为增函数，可得g（x）的最小值，即可求得a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=e^x-x²-x的导数为f′（x）=e^x-2x-1，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=e-3，
切点为（1，e-2），
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-2）=（e-3）（x-1），
即为（e-3）x-y+1=0；
（2）当x≥2时，f（x）≥0，即为e^x-x²-ax≥0在x≥2恒成立，
即有a≤$\frac{{e}^{x}-{x}^{2}}{x}$在x≥2恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-{x}^{2}}{x}$，g′（x）=$\frac{（{e}^{x}-2x）x-（{e}^{x}-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
再令h（x）=xe^x-e^x-x²，x≥2，h′（x）=x（e^x-2），
当x≥2时，h′（x）＞0，h（x）递增，
即有h（x）＞h（2）=e²-4＞0，
即有g′（x）＞0，g（x）在[2，+∞）递增，
则g（x）在x=2处取得最小值，为$\frac{{e}^{2}-4}{2}$．
则a≤$\frac{{e}^{2}-4}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间和极值、最值，主要考查导数的几何意义，运用参数分离和构造函数，运用单调性是解题的关键．