Question

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（x）≥t²+t-2的最值．

Answer 1

分析：（1）先求导数f'（x）＜0，以及导数的几何意义知在x=1处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．再根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间．
（2）先由（1）可f（x）的极大值，及f（x）[

1

4

，2]上的最小值2，f（x）≥t²-2t-1，x∈[

1

4

，2]上恒成立，求得t的取值范围，最后利用二次函数在某区间上的最值问题，求得g（t）最值．

解答：解：由已知得切点（1，3），f′（x）=3ax²-2bx+9
（1）由题意可

f(1)=a-b+9+2=3 f′(1)=3a-2b+9=-3

，
解得

a=4 b=12

f（x）=4x³-12x²+9x+2，f′（x）=12x²-24x+9，
f′（x）=0得x=

1

2

或

3

2

，f′（x）＞0，得x＞

3

2

x＜

1

2

，
f′（x）＜0

1

2

＜x＜

3

2

，f（x）的单调增区间（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），
f（x）的单调减区间（

1

2

，

3

2

）．

（2）由（1）可知，f（x）的极小值f（

3

2

）=2，
f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）[

1

4

，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1x∈[

1

4

，2]上恒成立，t²-2t-1≤2，t²-2t-3≤0，
解-1≤t≤3，g（x）=t²+t-2，
故t=

1

2

时g（t）最小值-

9

4

，t=3时g（t）最大值为10．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数在最大值、最小值问题中的应用等基础题知识，考查学生利用导数研究函数单调性的能力．利用导数研究函数极值的能力，函数恒成立的条件．