题目内容

已知等差数列{log₄（a_n-1）}（n∈N^），且a₁=5，a₃=65，函数f（x）=x²-4x+4，设数列{b_n}的前n项和为S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列c_n=（a_n-1）•b_n，且{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{d_n}中，所有满足d_k•d_k+1＜0的整数k的个数称为这个数列的异号数，令d_n= $数学公式$ （n∈N^），试问数列{d_n}是否存在异号数，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

解：（1）设等差数列{log₄（a_n-1）}的公差为d，
所以2log₄（a₂-1）=log₄（a₁-1）+log₄（a₃-1），
即2[log₄（5-1）+d]=log₄（5-1）+log₄（65-1），
得d=1，所以log₄（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，得a_n=4ⁿ+1，
由S_n=f（n）=n²-4n+4=（n-2）²，
当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5，验证n=1时不满足此式，所以b_n= $\text{[math]}$
（2）由（1）可得，当n=1时，c₁=4×1，
当n≥2时，c_n=4ⁿ×（2n-5），
所以T_n=4×1+4²×（-1）+4³×1+4⁴×3++4ⁿ×（2n-5），①
4T_n=4²+4³×（-1）+4⁴×1+4⁵×3++4ⁿ×（2n-7）+4ⁿ⁺¹×（2n-5），②
①减去②得
-3T_n=-28+4³×2+4⁴×2+4⁵×2++4ⁿ×2-4ⁿ⁺¹×（2n-5）=-28+ $\text{[math]}$ -4ⁿ⁺¹×（2n-5），
故T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
（3）由题意可得d_n= $\text{[math]}$ ，
因为d₁=-3＜0，d₂=1+4=5＞0，d₃=-3＜0，
所以k=1，k=2时都满足d_k•d_k+1＜0，
当n≥3时，d_n+1-d_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，
即当n≥3时，数列{d_n}单调递增，
因为d₄=- $\text{[math]}$ ＜0，由d_n=1- $\text{[math]}$ ＞0，n∈N^*可得n≥5，
可知k=4时满足d_k•d_k+1＜0，
综上可知数列{d_n}中存在3个异号数．
分析：（1）由于已知等差数列{log₄（a_n-1）}（n∈N^*），且a₁=5，a₃=65，设等差数列{log₄（a_n-1）}的公差为d，利用条件建立方程可以求得得a_n=4ⁿ+1，再有函数f（x）=x²-4x+4，设数列{b_n}的前n项和为S_n=f（n），利用已知数列的前n项和求出通项即可；
（2）有（1）可得c₁=4×1，当n≥2时，c_n=4ⁿ×（2n-5），利用错位相减法即可求数列c_n=（a_n-1）•b_n，且{c_n}的前n项和为T_n；
（3）由题意可得d_n= $\text{[math]}$ ，代入求的k=1，k=2时都满足d_k•d_k+1＜0，当n≥3时，数列{d_n}单调递增，利用单调性即可解的．
点评：此题考查了等差数列的通项公式．已知数列的前n项和求其通项，错位相减法求数列的前n项的和，有数列的通项分析该数列的单调性，及数列的函数特点，