题目内容
【题目】(2015·四川)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)≥0,在区间(1,+
)内恒成立,且f(x)=0在(1,+
)内有唯一解.
【答案】
(1)
当0<a<时,g(x)在区间(0,
), (
,+
)上单调递增, 在区间(
,
)上单调递减;当a≥
时,在区间(0,+
)上单调递增.
(2)
详见解析.
【解析】(1)由已知, 函数f(x)的定义域为(0,+), g(x)=f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+
), 所以 g'(x)=2-
+
=
, 当0<a<
时,g(x)在区间(0,
), (
,+
)上单调递增, 在区间(
,
)上单调递减;当a≥
时,在区间(0,+
)上单调递增. (2)由f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+
)=0, 解得a=
, 令
(x)=-2(x+
)lnx+x2-2(
)x-2(
)2+
, 则
(1)=1>0,
(e)=-
-2
<0, 故存在x0
(1,e), 使得
(x0)=0, 令a0=
, u(x)=x-1-lnx(x≥1), 由u'(x)=1-
≥0知, 函数u(x)在区间(1, +
)上单调递增。所以0=
, 即a
(0,1), 当a=a0时, 有f'(x0)=0, f(x0)=
(x0)=0, 由(1)知, 函数f'(x)在区间(1,+
)上单调递增., 故当x
(1,x0)时, 有f'(x0)<0, 从而f(x)> f(x0)=0, 当x
(x0, +
)时, 有f'(x0)>0, 从而f(x)> f(x0)=0, 所以, 当x
(1,+
)时, f(x)≥0。 综上所述,存在a
(0,1),使得f(x)≥0,在区间(1,+
)内恒成立,且f(x)=0在(1,+
)内有唯一解.
本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与 整合,化归与转化等数学思想.本题作为压轴题,难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容,在中学要求学生掌握其基础知识,在高考题中也必有 体现.一般地,只要掌握了课本知识,是完全可以解决第(1)题的,所以对难度最大的最后一个题,任何人都不能完全放弃,这里还有不少的分是志在必得的.解 决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合,联系图形大胆猜想. 在本题中,结合待证结论,可以想象出f(x)的大致图象,要使得f(x)≥0在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在(1,+
)内有唯一解,则这个解x0应为极小值点,且极小值为0,当x
(1,x0)时,f(x)的图象递减; 当x
(1,+
)时,f(x)的图象单调递增,顺着这个思想,便可找到解决方法.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】调查在3级风的海上航行中71名乘客的晕船情况,在男人中有12人晕船,25人不晕船,在女人中有10人晕船,24人不晕船
(1)作出性别与晕船关系的列联表;
(2)根据此资料,能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为3级风的海上航行中晕船与性别有关?
晕船 | 不晕船 | 总计 | |
男人 | |||
女人 | |||
总计 |
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |