题目内容
【题目】已知函数存在两个极值点.
(Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设和
分别是
的两个极值点且
,证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)对原函数求导,即该导函数在有两个不同根,对该导函数继续求导,发现只有
一个零点,分a = 0,a < 0,a > 0三种情况讨论即可.
(Ⅱ)要证,即证
.
由得
,得
.
所以原命题等价于证明.
因为,故只需证
,即
令,则
,设
,利用导数研究其单调性极值与最值即可.
试题解析:(Ⅰ)由题设函数的定义域为
,
,故函数
有两个极值点等价于其导函数
在
有两个零点.
当a = 0时,显然只有1个零点
.当a≠0时,令
,那么
.
若a < 0,则当x > 0时,即
单调递增,所以
无两个零点. … 3分
若a > 0,则当时
,
单调递增;当
时
,
单调递减,所以
. 又
,当x→0时→
,故若有两个零点,则
,得
.
综上得,实数a的取值范围是.
(Ⅱ)要证,两边同时取自然对数得
.
由得
,得
.
所以原命题等价于证明.
因为,故只需证
,即
令,则
,设
,只需证
.… 10分
而,故
在
单调递增,所以
.
综上得.
点晴:本题主要考查函数极值,不等式证明问题.要求极值,求导得导函数,分a = 0,a < 0,a > 0三种情况讨论极值情况,要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
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