Question

设T_n为数列{a_n}的前n项的积，即T_n=a₁•a₂…a_n．
（1）若T_n=n²，求a₃a₄a₅的值；
（2）若数列{a_n}各项都是正数，且满足T_n=

a 2 n

4

（（n∈N^*），证明数列{log₂a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}共有100项，且满足以下条件：①a₁•a₂…a₁₀₀=2；②等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2对1≤k≤99，k∈N^*恒成立．试问符合条件的数列共有多少个？为什么？

Answer 1

分析：（1）由T_n=a₁•a₂…a_n=n²，知a₃a₄a₅=

T5

T2

，由此能求出a₃a₄a₅的值．
（2）当n=1时，a₁=4，log₂a₁=2，当n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

an2

an-12

，由此能够证明数列{log₂a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（3）由a₁•a₂…a₁₀₀=2，等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2对1≤k≤99，k∈N^*恒成立，知a1+

2

a1

=3，解得a₁=1，或a₁=2．T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一个实根，当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T_k确定，由此能求出符合条件的数列的个数．

解答：解：（1）∵T_n=a₁•a₂…a_n=n²，
∴a₃a₄a₅=

T5

T2

=

25

4

．
（2）当n=1时，a₁=T₁=

a12

4

，
∴a₁=4，log₂a₁=2，
当n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

an2

an-12

，
∵a_n＞0，∴an=an-12，
∴log₂a_n=2log₂a_n-1，
∴数列{log₂a_n}为等比数列，
log_aa_n=2ⁿ，∴an=22n．
（3）∵a₁×a₂×…×a₁₀₀=2；
等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=3对1≤k≤99，k∈N^*恒成立，
∴a₁+a₂•a₃×…×a₁₀₀=k+2，
∴a1+

2

a1

=3，解得a₁=1，或a₁=2．
T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一个实根，
△=[-（k+2）]²-4=k²+4k＞0，
当数列前k（2≤k≤98）项确定后，
其前k项积T_k确定，
由T_k+1可得到两个a_k+1，
所以符合条件的数列共有2⁹⁹个．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查符合条件的数列个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．