Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=0时，求实数k的值；
（Ⅱ）当b∈(-

1

2

，1)时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当b=0时，M点即为原点，根据圆C的方程：（x-1）²+y²=1，原点（M点）落在圆上，若MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）²+y²=1直径，将圆心坐标代入直线方程，即可求出实数k的值；
（Ⅱ）根据P、Q两点在直线l：y=kx-1上，设出P，Q两点的坐标为（x₁，kx₁-1），（x₂，kx₂-1），联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式，根据b∈（-

1

2

，1）时，即可得到实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当b=0时，点M（0，0）在圆C：（x-1）²+y²=1上，
若足MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）²+y²=1直径，
即直线l：y=kx-1过圆心（1，0），
代入解得k=1．
（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（x₁，kx₁-1），（x₂，kx₂-1）
则由圆C：（x-1）²+y²=1及直线l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
则x₁•x₂=

1

k2+1

，x₁+x₂=

2(k+1)

k2+1

则

MP

=（x₁，kx₁-1-b），

MQ

=（x₂，kx₂-1-b）
由MP⊥MQ则
x₁•x₂+（kx₁-1-b）•（kx₂-1-b）=0
即

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(-

1

2

，1)
∴

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∈[2，

5

2

）
解得k≥1
故实数k的取值范围[1，+∞）

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，直线与圆的综合应用，（Ⅱ）中应用的方法--“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的综合问题的常用方法，是解答高考压轴题的关键．