Question

已知三个命题：①关于x的方程x²+mx+2m=0无实数根；②关于x的不等式|x+2|+|x-3|＞m对于任意的x∈R恒成立；③函数f(x)=

x2+m2

x

在[-2，0）上单调递减．如果上述三个命题中两真一假，那么实数m的取值范围是（　　）

A．（-2，0）∪（2，8）

B．（-2，0]∪（5，8）∪[9，+∞）

C．（-∞，-2）∪（5，8）

D．（-∞，-2]∪（0，2）∪[5，8）

Answer 1

分析：分别求三个命题为真时的m的范围，由三个命题中两真一假，分三类情况来分析都可得到m的范围，然后取并集即可得到答案．

解答：解：①关于x的方程x²+mx+2m=0无实数根，则△=m²-8m＜0，解得0＜m＜8；
②关于x的不等式|x+2|+|x-3|＞m对于任意的x∈R恒成立，则m＜（|x+2|+|x-3|）_min=5；
③函数f(x)=

x2+m2

x

在[-2，0）上单调递减，则f′（x）=1-

m2

x2

≤0在x∈[-2，0）上恒成立，
即m²≥x²在x∈[-2，0）上恒成立，只需m²≥（x²）_max=4，故m≤-2，或m≥2．
上述三个命题中两真一假，则（0，8）∩（-∞，5）∩（-2，2）=（0，2），
或（0，8）∩[5，+∞）∩[（-∞，-2]∪[2，+∞）]=[5，8），
或[（-∞，0]∪[8，+∞）]∩（-∞，5）∩[（-∞，-2]∪[2，+∞）]=（-∞，-2]．
故m的取值范围为：（-∞，-2]∪（0，2）∪[5，8）．
故选D．

点评：本题为求实数的取值范围，涉及函数的单调性，恒成立问题以及一元二次方程根的情况，属基础题．