题目内容
平面直角坐标系中,O为坐标系原点,给定两点A(1,0),B(0,2),点C满足
=α•
+β•
,其中α,β∈R,α-2β=1.
(1)求点C(x,y)的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线
-=1(a,b>0)交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
-为定值.
分析:(1)利用
=α•
+β•
,确定A,B,C坐标之间的关系,利用α-2β=1可得点C的轨迹方程;
(2)点C(x,y)的轨迹方程与双曲线联立,利用韦达定理及以MN为直径的圆过原点,即
•=0,化简可得结论.
解答:解:(1)∵C(x,y),
=α•
+β•
,∴(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),
∴
,
∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹方程为x+y=1.---------(6分)
(2)联立方程组
,消去y,整理得(b
2-a
2)x
2+2a
2x-a
2-a
2b
2=0
依题意知b
2-a
2≠0,设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),
∴x
1+x
2=
-,x
1x
2=
-∵以MN为直径的圆过原点,∴
•=0,即x
1x
2+y
1y
2=0
∴2x
1x
2+1-(x
1+x
2)=0,
∴2×(
-)+1-(
-)=0
化简可得
-=2为定值---------(16分)
点评:本题考查向量知识的运用,考查轨迹方程的求解,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量知识的运用,属于中档题.
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