Question

平面直角坐标系中，O为坐标系原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足

OC

=α•

OA

+β•

OB

，其中α，β∈R，α-2β=1．
（1）求点C（x，y）的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：

1

a2

-

1

b2

为定值．

Answer 1

分析：（1）利用

OC

=α•

OA

+β•

OB

，确定A，B，C坐标之间的关系，利用α-2β=1可得点C的轨迹方程；
（2）点C（x，y）的轨迹方程与双曲线联立，利用韦达定理及以MN为直径的圆过原点，即

OM

•

ON

=0，化简可得结论．

解答：解：（1）∵C（x，y），

OC

=α•

OA

+β•

OB

，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），
∴

x=α y=-2β

，
∵α-2β=1，∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y=1．---------（6分）
（2）联立方程组

x+y=1 x2 a2 - y2 b2 =1

，消去y，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
依题意知b²-a²≠0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

2a2

b2-a2

，x₁x₂=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN为直径的圆过原点，∴

OM

•

ON

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂+1-（x₁+x₂）=0，
∴2×（-

a2+a2b2

b2-a2

）+1-（-

2a2

b2-a2

）=0
化简可得

1

a2

-

1

b2

=2为定值---------（16分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程的求解，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．