题目内容

平面直角坐标系中,O为坐标系原点,给定两点A(1,0),B(0,2),点C满足
OC
=α•
OA
+β•
OB
,其中α,β∈R,α-2β=1.
(1)求点C(x,y)的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a,b>0)交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
1
a2
-
1
b2
为定值.
分析:(1)利用
OC
=α•
OA
+β•
OB
,确定A,B,C坐标之间的关系,利用α-2β=1可得点C的轨迹方程;
(2)点C(x,y)的轨迹方程与双曲线联立,利用韦达定理及以MN为直径的圆过原点,即
OM
ON
=0
,化简可得结论.
解答:解:(1)∵C(x,y),
OC
=α•
OA
+β•
OB
,∴(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),
x=α
y=-2β

∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹方程为x+y=1.---------(6分)
(2)联立方程组
x+y=1
x2
a2
-
y2
b2
=1
,消去y,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0
依题意知b2-a2≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
∴x1+x2=-
2a2
b2-a2
,x1x2=-
a2+a2b2
b2-a2

∵以MN为直径的圆过原点,∴
OM
ON
=0
,即x1x2+y1y2=0
∴2x1x2+1-(x1+x2)=0,
∴2×(-
a2+a2b2
b2-a2
)+1-(-
2a2
b2-a2
)=0
化简可得
1
a2
-
1
b2
=2为定值---------(16分)
点评:本题考查向量知识的运用,考查轨迹方程的求解,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量知识的运用,属于中档题.
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